Ist 0 9999 gleich 1?

Warum ist 0,999… gleich 1?

Die Frage, ob 0,999… (mit unendlich vielen Neunen) gleich 1 ist, verwirrt viele – schließlich sieht es auf den ersten Blick so aus, als ob da noch ein kleiner Unterschied fehlt. Doch in der Mathematik ist klar: 0,999… ist exakt gleich 1. Es handelt sich nicht um eine Annäherung, sondern um dieselbe Zahl – nur in einer anderen Schreibweise.

Wie kann das sein? Stell dir vor, du nähertest dich der 1 immer mehr an: 0,9, dann 0,99, dann 0,999 – und so weiter, unendlich oft. Irgendwann wird der Abstand zur 1 unendlich klein. In der Welt der reellen Zahlen bedeutet ein unendlich kleiner Abstand aber: Es ist die 1. Es gibt keine Zahl zwischen 0,999… und 1 – und das ist ein sicheres Zeichen dafür, dass beide identisch sind.

Ein klassischer Beweis nutzt Brüche: Der Bruch 1/3 entspricht 0,333… Wenn man das mit 3 multipliziert, ergibt sich 3 × 0,333… = 0,999… Andererseits ist 3 × (1/3) = 1. Also muss 0,999… = 1 sein.

Ein weiterer Ansatz: Nenne 0,999… „x“. Dann ist x = 0,999… Multipliziere mit 10: 10x = 9,999… Ziehe jetzt x ab: 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9. Also ist 9x = 9, und damit x = 1.

Obwohl es kontraintuitiv wirkt, ist diese Gleichheit seit Langem anerkannt und Teil der Standardmathematik. Tatsächlich ist 0,999… nicht fast 1 – es ist 1.