¿Cómo se demuestra que 6²⁵ es irracional?

¿Es 6 - 2√5 un número irracional?

Una pregunta común en matemáticas es cómo demostrar que ciertos números son irracionales. En este caso, se pregunta si 6 - 2√5 es irracional. La respuesta es sí, y se puede probar mediante una demostración por contradicción.

Supongamos que 6 - 2√5 es racional. Eso significaría que se puede escribir como una fracción a/b, donde a y b son enteros, y b ≠ 0, además de ser coprimos (es decir, no tienen divisores comunes aparte de 1). Entonces:

6 - 2√5 = a/b

Despejando √5, obtenemos:

√5 = (6b - a) / (2b)

Esto implicaría que √5 es un número racional, ya que el resultado sería un cociente entre dos enteros. Pero aquí está el problema: ya se sabe que √5 es irracional, un hecho bien establecido en matemáticas. Su demostración se basa también en una contradicción similar, mostrando que no puede expresarse como fracción.

Por lo tanto, nuestra suposición inicial —que 6 - 2√5 es racional— debe ser falsa. Así concluimos que 6 - 2√5 es irracional.

Este tipo de pruebas son comunes en teoría de números y muestran cómo propiedades de números como √5 se extienden a expresiones más complejas. Es una forma elegante de usar lo que ya sabemos para descubrir nuevas verdades matemáticas.