Wie viele Dezimalzahlen gibt es?

Wie viele Dezimalzahlen gibt es?

Die Frage, wie viele Dezimalzahlen es gibt, klingt einfach, führt aber tief in die Welt der Mathematik. Kurz gesagt: Es gibt unendlich viele – und zwar so viele, dass sie nicht einmal gezählt werden können, nicht einmal im Ansatz.

Man unterscheidet grundsätzlich drei Arten von Dezimalzahlen: abbrechende, periodische und irrationale Zahlen. Abbrechende Dezimalzahlen haben nur endlich viele Stellen nach dem Komma. Zum Beispiel: 0,25 oder 3,7. Sie sind leicht zu verstehen, weil sie sich oft als Bruch schreiben lassen.

Dann gibt es die periodischen Dezimalzahlen, bei denen sich eine oder mehrere Ziffern nach dem Komma immer wiederholen. Ein Beispiel ist 0,333…, also ein Drittel. Auch diese lassen sich als Bruch darstellen und gehören damit zur Gruppe der rationalen Zahlen.

Der faszinierende Teil beginnt bei den irrationalen Zahlen. Das sind Dezimalzahlen, die weder abbrechen noch periodisch werden. Dazu zählen berühmte Zahlen wie π (Pi) oder √2. Sie haben unendlich viele, nicht-periodische Nachkommastellen und füllen die Zahlengerade so dicht, dass zwischen zwei beliebigen Zahlen – egal wie nah sie beieinander liegen – immer noch unendlich viele weitere Dezimalzahlen stecken.

Die Menge aller Dezimalzahlen ist also nicht nur unendlich – sie ist überabzählbar unendlich. Das bedeutet: Selbst wenn man ewig weit zählen würde, käme man nie an jedes einzelne Mitglied dieser Menge heran. So vielfältig und unbegrenzt ist die Welt der Zahlen.